3.А. 2. На рис. 19 ABCD — параллелограмм, ∠ABC = 130°, AA₁ ∥ BB₁ ∥ CC₁ ∥ DD₁ и AA₁ = BB₁ = CC₁ = DD₁; точка M лежит на BB₁. 1) Постройте линии пересечения плоскости AMD с плоскостями AA₁B₁, BB₁C₁ и DD₁C₁. 2) Найдите угол между прямыми AB и A₁D₁.

1) Линии пересечения плоскостей.

1. Плоскости AMD и AA₁B₁ имеют общие точки A и M, поэтому их линия пересечения — AM.

2. Плоскость AMD содержит AD, а AD ∥ BC. Плоскость BB₁C₁ содержит BC и M. Поэтому линия пересечения этих плоскостей — прямая через M, параллельная AD (и BC).

3. Плоскости AMD и DD₁C₁ имеют общую точку D. Проведём через D прямую, параллельную AM. Она лежит в плоскости DD₁C₁, поскольку AM направлена как сумма направлений BC и BB₁, оба из которых параллельны направлениям, лежащим в этой плоскости. Эта прямая и есть линия пересечения.

На схеме E — точка пересечения прямой через M, параллельной AD, с ребром CC₁; тот же пункт пересечения лежит на прямой через D, параллельной AM.

2) Угол между AB и A₁D₁. Так как AA₁ ∥ DD₁, четырёхугольник ADD₁A₁ — параллелограмм, поэтому A₁D₁ ∥ AD. В параллелограмме ABCD соседние углы supplementary: ∠DAB = 180° − 130° = 50°. Угол между прямыми AB и AD, а значит и между AB и A₁D₁, равен 50°.

Ответ: 50°.