3.1. Постройте график функции у = х² + 2х - 3. Пользуясь графиком, найдите: 1) область значений данной функции; 2) промежуток возрастания функции.

Привет! Давай построим график и разберемся с функцией y = x² + 2x - 3.

Это квадратичная функция, ее график — парабола. Ветви параболы направлены вверх, так как коэффициент при x² (он равен 1) положительный.

1. Найдем вершину параболы.

Координата x вершины находится по формуле: x₀ = -b / (2a), где a = 1 и b = 2.

• x₀ = -2 / (2 * 1) = -2 / 2 = -1

Теперь найдем координату y вершины, подставив x₀ = -1 в уравнение функции:

• y₀ = (-1)² + 2*(-1) - 3 = 1 - 2 - 3 = -4

Вершина параболы находится в точке (-1; -4).

2. Найдем точки пересечения с осями.

С осью Oy (x = 0):

• y = 0² + 2*0 - 3 = -3. Точка пересечения: (0; -3).

С осью Ox (y = 0):

• x² + 2x - 3 = 0. Это квадратное уравнение. Найдем его корни через дискриминант:

D = b² - 4ac = 2² - 4 * 1 * (-3) = 4 + 12 = 16

√D = √16 = 4

x₁ = (-b + √D) / (2a) = (-2 + 4) / (2 * 1) = 2 / 2 = 1

x₂ = (-b - √D) / (2a) = (-2 - 4) / (2 * 1) = -6 / 2 = -3

Точки пересечения с осью Ox: (-3; 0) и (1; 0).

3. Построим график.

Отметим вершину (-1; -4) и точки пересечения с осями (0; -3), (-3; 0), (1; 0). Через них проведем плавную кривую — параболу.

4. Ответим на вопросы, пользуясь графиком.

1) Область значений функции:

Это все возможные значения y, которые принимает функция. Так как ветви параболы направлены вверх, а самая нижняя точка (вершина) имеет координату y = -4, то функция принимает все значения от -4 до плюс бесконечности.

Ответ: [-4; +∞)

2) Промежуток возрастания функции:

Функция возрастает там, где ее график идет вверх при движении слева направо. Для параболы это происходит правее вершины.

Ответ: [-1; +∞)