3.3. Одна из сторон треугольника равна 25 см, а другая сторона делится точкой касания вписанной окружности на отрезки длиной 22 см и 8 см, считая от конца первой стороны. Найдите радиус вписанной окружности

Привет! Давай найдем радиус вписанной окружности.

Дано:

• Треугольник ABC.
• Сторона b = 25 см (будем считать, что это сторона AC).
• Точка касания вписанной окружности делит сторону c (AB) на отрезки AK = 22 см и KB = 8 см.
• Значит, сторона c = AB = AK + KB = 22 + 8 = 30 см.

Найти: Радиус вписанной окружности (r).

Решение:

У нас есть два отрезка, на которые точка касания делит сторону AB: 22 см и 8 см. Важное свойство: отрезки касательных, проведенных из одной вершины к вписанной окружности, равны.

Пусть точка касания на стороне AC будет L, а на стороне BC — M.

• Из вершины A: AL = AK = 22 см.
• Из вершины B: BM = BK = 8 см.
• Из вершины C: CL = CM (обозначим эту длину как x).

Теперь мы знаем длины сторон треугольника:

• c = AB = 30 см
• b = AC = AL + LC = 22 + x см
• a = BC = BM + MC = 8 + x см

Чтобы найти радиус вписанной окружности, можно использовать формулу: S = p * r, где S — площадь треугольника, p — полупериметр, r — радиус вписанной окружности.

Сначала найдем полупериметр (p):

• p = (a + b + c) / 2
• p = ((8 + x) + (22 + x) + 30) / 2
• p = (60 + 2x) / 2
• p = 30 + x

Теперь найдем площадь треугольника по формуле Герона: S = √[p(p-a)(p-b)(p-c)]

• p - a = (30 + x) - (8 + x) = 22
• p - b = (30 + x) - (22 + x) = 8
• p - c = (30 + x) - 30 = x

S = √[(30 + x) * 22 * 8 * x] = √[176x(30 + x)]

Теперь приравняем два выражения для площади: p * r = S

• (30 + x) * r = √[176x(30 + x)]

Возведем обе части в квадрат, чтобы избавиться от корня:

• (30 + x)² * r² = 176x(30 + x)

Разделим обе части на (30 + x) (так как 30 + x не может быть равно нулю):

• (30 + x) * r² = 176x

r² = 176x / (30 + x)

У нас пока два неизвестных: x и r. Нужно найти x.

Вернемся к сторонам: b = 25. Мы использовали, что b = 22 + x.

Значит, 25 = 22 + x. Отсюда x = 25 - 22 = 3 см.

Теперь мы знаем x! Подставим его в формулу для r²:

• r² = (176 * 3) / (30 + 3)
• r² = 528 / 33
• r² = 16
• r = √16
• r = 4 см.

Ответ: 4 см