№3. 1) Постройте график функции y = |x² + 5x + 4|. 2) При каких значениях x данная функция возрастает, убывает? 3) Какое наибольшее число общих точек график данной функции может иметь с прямой, параллельной оси абсцисс?

Разложим выражение под модулем: x² + 5x + 4 = (x + 4)(x + 1). Оно отрицательно при −4 < x < −1. Поэтому на этом промежутке ветвь параболы отражается относительно оси Ox:

y = x² + 5x + 4 при x ≤ −4 или x ≥ −1; y = −x² − 5x − 4 при −4 ≤ x ≤ −1.

Нули функции: x = −4 и x = −1. Вершина отражённой дуги находится при x = −5/2, а её значение равно 9/4.

На левой ветви функция убывает до x = −4. От −4 до вершины отражённой дуги она возрастает, затем до −1 убывает. После −1 возрастает.

Горизонтальная прямая y = c при 0 < c < 9/4 пересекает оба внешних луча и дугу между корнями, то есть имеет четыре общие точки с графиком. Больше быть не может: график состоит из этих двух лучей и одной дуги.

Ответ: возрастает на [−4; −5/2] и [−1; +∞); убывает на (−∞; −4] и [−5/2; −1]. Максимальное число общих точек — 4.