№4. Постройте график функции y = 4 − (3x − 6)/(x² − 2x) и определите, при каких значениях m прямая y = m не имеет с графиком ни одной общей точки.

Область определения: x ≠ 0 и x ≠ 2. Для допустимых x:

y = 4 − 3(x − 2)/(x(x − 2)) = 4 − 3/x.

Следовательно, график — гипербола y = 4 − 3/x с вертикальной асимптотой x = 0 и горизонтальной асимптотой y = 4. При x = 2 функция не определена, поэтому на графике есть выколотая точка (2; 5/2).

Для любого m ≠ 4 уравнение пересечения y = m сводится к x = 3/(4 − m). Оно имеет допустимое решение, кроме случая, когда x = 2, то есть m = 5/2; но значение y = 5/2 всё же достигается при x = 2/3. Поэтому выколотая точка не исключает это значение из множества значений функции. Значение 4 не достигается ни при каком x.

Ответ: m = 4.