3.11 К окружности с центром в точке О проведены касательная АВ и секущая АО. Найдите радиус окружности, если АВ=12 см, АО=13 см.

Дано:

• Окружность с центром в точке $$O$$.
• Касательная $$AB$$.
• Секущая $$AO$$.
• $$AB = 12$$ см.
• $$AO = 13$$ см.

Найти: Радиус окружности.

Решение:

1. Касательная к окружности перпендикулярна радиусу, проведенному в точку касания. Следовательно, угол $$\angle OAB = 90^\circ$$.
2. Таким образом, треугольник $$OAB$$ является прямоугольным.
3. По теореме Пифагора в прямоугольном треугольнике $$OAB$$:

\[ OA^2 = OB^2 + AB^2 \]

Где $$OA$$ — гипотенуза, $$OB$$ — радиус окружности (катет), $$AB$$ — касательная (катет).

Подставляем известные значения:

\[ 13^2 = OB^2 + 12^2 \]

\[ 169 = OB^2 + 144 \]

\[ OB^2 = 169 - 144 \]

\[ OB^2 = 25 \]

\[ OB = \sqrt{25} = 5 \]

Таким образом, радиус окружности равен $$5$$ см.

Ответ: 5 см.