3.11. Найдите решения систем уравнений: 1) {x² + xy = 8; y − x = 7}; 2) {x² − xy = −1; x + y = 6}; 3) {x² + xy = 14; y − 3x = −8}; 4) {x³ + y³ = 87; x + y = 4}.

Из второго уравнения получаем \(y=x+7\). Подставляем в первое: \(2x^2+7x-8=0\), поэтому \(x=\frac{-7\pm\sqrt{113}}{4}\), а \(y=x+7=\frac{21\pm\sqrt{113}}{4}\) с тем же знаком.

Из второго уравнения \(y=6-x\). Подстановка даёт \(2x^2-6x+1=0\), откуда \(x=\frac{3\pm\sqrt7}{2}\), \(y=\frac{9\mp\sqrt7}{2}\).

Из второго уравнения \(y=3x-8\). Подстановка даёт \(4x^2-8x-14=0\), то есть \(2x^2-4x-7=0\). Тогда \(x=1\pm\frac{3\sqrt2}{2}\), \(y=-5\pm\frac{9\sqrt2}{2}\) с тем же знаком.

Используем тождество \(x^3+y^3=(x+y)^3-3xy(x+y)\). Получаем \(64-12xy=87\), значит \(xy=-\frac{23}{12}\). Тогда числа \(x,y\) — корни уравнения \(t^2-4t-\frac{23}{12}=0\): \(t=2\pm\frac{\sqrt{63}}{6}\).

Ответ: 1) \((x,y)=(\frac{-7\pm\sqrt{113}}4,\frac{21\pm\sqrt{113}}4)\); 2) \((\frac{3\pm\sqrt7}2,\frac{9\mp\sqrt7}2)\); 3) \((1\pm\frac{3\sqrt2}2,-5\pm\frac{9\sqrt2}2)\); 4) пары чисел \(2+\frac{\sqrt{63}}6\) и \(2-\frac{\sqrt{63}}6\) в любом порядке.