3.12. Решите систему уравнений: 1) {x² − 2y² = 7; x − y = 0}; 2) {x² − 2y² = −1; x − y = 1}; 3) {x² − y² = −8; xy = 3}; 4) {x² + y² − xy = −1; xy = 2}.

Из \(x-y=0\) следует \(x=y\). Тогда \(-x^2=7\), что невозможно для действительных чисел.

Положим \(x=y+1\). Подстановка в первое уравнение даёт \(y^2+2y=0\), поэтому \(y=0\) или \(y=-2\). Соответственно, \((x,y)=(1,0)\) или \((-1,-2)\).

Из \(xy=3\) и \(x^2-y^2=-8\) получаем \((x-y)(x+y)=-8\), а \((x+y)^2=(x-y)^2+12\). Решая с учётом произведения, получаем \(x^2=\sqrt{13}-4\), что отрицательно. Действительных решений нет.

Подстановка \(xy=2\) во второе условие даёт \(x^2+y^2-2=-1\), то есть \(x^2+y^2=1\). Но при действительных \(x,y\) должно быть \(x^2+y^2\ge 2|xy|=4\). Противоречие.

Ответ: 1), 3), 4) действительных решений нет; 2) \((1,0)\), \((-1,-2)\).