3.13. Найдите решение системы уравнений: 1) {(x + y)/(x − y) + (x − y)/(x + y) = 26/5; xy = 6}; 2) {(x + y)/(x − y) + 6(x − y)/(x + y) = 5; x − y = 2}; 3) {(x + y)/(x − y) + (x − y)/(x + y) = 10/3; x² + y² = 5}; 4) {(x + y)/(x − y) + 5(x − y)/(x + y) = −6; x² + y² = 13}.

Обозначим \(a=\frac{x+y}{x-y}\). Тогда \(a+\frac1a=\frac{26}{5}\), откуда \(a=5\) или \(a=\frac15\). Вместе с \(xy=6\) это даёт пары \((x,y)=(6,3),(-6,-3),(3,6),(-3,-6)\).

Пусть \(u=x+y\). Так как \(x-y=2\), уравнение становится \(\frac u2+\frac{12}{u}=5\). Отсюда \(u^2-10u+24=0\), значит \(u=4\) или \(u=6\). Решая системы суммы и разности, получаем \((x,y)=(3,1)\) или \((4,2)\).

Пусть \(a=\frac{x+y}{x-y}\). Тогда \(a+\frac1a=\frac{10}{3}\), откуда \(a=3\) или \(a=\frac13\). Из \(x^2+y^2=5\) следует \((x+y)^2+(x-y)^2=10\). В обоих случаях получаются пары \((2,1),(-2,-1),(1,2),(-1,-2)\).

С тем же обозначением \(a=\frac{x+y}{x-y}\) имеем \(a+\frac5a=-6\), то есть \((a+1)(a+5)=0\). Значение \(a=-1\) невозможно, поскольку оно означало бы \(x=0"); оно также противоречит условиям системы. При \(a=-5\) получаем \(x+y=-5(x-y)\), то есть \(y=3x\). Из \(x^2+y^2=13\) следует \(10x^2=13\). Решения: \((x,y)=(\sqrt{130}/10,3\sqrt{130}/10)\) и противоположная пара.

Ответ: 1) \((6,3),(-6,-3),(3,6),(-3,-6)\); 2) \((3,1),(4,2)\); 3) \((2,1),(-2,-1),(1,2),(-1,-2)\); 4) \((\sqrt{130}/10,3\sqrt{130}/10)\), \((-\sqrt{130}/10,-3\sqrt{130}/10)\).