3.15. Решите способом алгебраического сложения системы уравнений: А) 1) {x² − 3xy + 2y² = 0; x² + y² = 20}; 3) {2x² − 3xy + y² = 0; x² − y² = −1}. Б) 2) {x² − 5xy + 2y² = 0; x² + 2y² + 4 = 0}; 4) {y² − 3x² − 2xy = 0; y² − 4x² = 4}.

Question

Вопрос:

Фото задания: 3.15. Решите способом алгебраического сложения системы уравнений: А) 1) {x² − 3xy + 2y² = 0; x² + y² = 20}; 3) {2x² − 3xy +…

3.15. Решите способом алгебраического сложения системы уравнений: А) 1) {x² − 3xy + 2y² = 0; x² + y² = 20}; 3) {2x² − 3xy + y² = 0; x² − y² = −1}. Б) 2) {x² − 5xy + 2y² = 0; x² + 2y² + 4 = 0}; 4) {y² − 3x² − 2xy = 0; y² − 4x² = 4}.

Accepted Answer

Видимые системы решаем действительными числами.

В первом уравнении \(x^2-3xy+2y^2=(x-y)(x-2y)=0\). Если \(x=y\), то \(2x^2=20\), откуда \((x,y)=(\sqrt{10},\sqrt{10})\) или \((-\sqrt{10},-\sqrt{10})\). Если \(x=2y\), то \(5y^2=20\), откуда \((x,y)=(4,2)\) или \((-4,-2)\).
Первое уравнение раскладывается: \(2x^2-3xy+y^2=(2x-y)(x-y)=0\). При \(y=x\) второе уравнение даёт \(0=-1\), решений нет. При \(y=2x\) оно даёт \(-3x^2=-1\), поэтому \(x=\pm\frac1{\sqrt3}\), \(y=\pm\frac2{\sqrt3}\) с тем же знаком.
Для системы Б) 2) второе уравнение требует \(x^2+2y^2=-4\). Левая часть неотрицательна, поэтому действительных решений нет.
Из второго уравнения \(y^2=4x^2+4\). Подстановка в первое даёт \(x^2+4-2xy=0\), или \(2xy=x^2+4\). Возводя равенство в квадрат и используя \(y^2=4x^2+4\), получаем \(x^4-8x^2+16=0\), то есть \((x^2-4)^2=0\). Поэтому \(x=\pm2\); подстановка определяет \(y=\pm\sqrt{20}\) с тем же знаком, что и \(x\).

Ответ: А) 1) \((\sqrt{10},\sqrt{10}),(-\sqrt{10},-\sqrt{10}),(4,2),(-4,-2)\); 3) \((\frac1{\sqrt3},\frac2{\sqrt3}),(-\frac1{\sqrt3},-\frac2{\sqrt3})\). Б) 2) действительных решений нет; 4) \((2,2\sqrt5),(-2,-2\sqrt5)\).