3. (17 баллов) Найдите натуральные числа a, b, c, такие что a² + b − c = 100 и b² + a − c = 126. В ответе запишите значение числа c.

Вычтем первое уравнение из второго, чтобы исключить c:

\(b^2-a^2+a-b=26\), откуда \((b-a)(a+b-1)=26\).

Поскольку \(a,b\) — натуральные числа, оба множителя положительны. Проверим пары положительных делителей 26, учитывая, что \(a+b=(a+b-1)+1\), а числа a и b должны быть положительными целыми.

1. Если \(b-a=1\), то \(a+b-1=26\), поэтому \(a+b=27\). Отсюда \(a=13\), \(b=14\).
2. Если \(b-a=2\), то \(a+b=14\), откуда \(a=6\), \(b=8\), но первое уравнение даёт \(c=36+8-100=-56\), что не является натуральным числом.
3. При \(b-a=13\) или \(26\) сумма a+b слишком мала, чтобы a и b были положительными числами с такой разностью.

Для найденных a и b из первого уравнения: \(c=13^2+14-100=83\). Проверка второго уравнения: \(14^2+13-83=126\).

Ответ: 83.