4. (15 баллов) В стакан налили m₁ = 200 г горячего кофе температурой t₁ = 90 °C. Затем добавили m₂ = 50 г молока температурой t₂ = 10 °C. После этого положили шарик мороженого массой m = 100 г, имеющего температуру t₀ = −4 °C. Мороженое полностью растаяло. Найдите установившуюся температуру смеси T. Теплообменом с окружающей средой и теплоёмкостью стакана пренебречь. Удельная теплоёмкость кофе и молока c = 4200 Дж/(кг · °C), удельная теплоёмкость мороженого cₘ = 2100 Дж/(кг · °C), удельная теплота плавления мороженого λ = 330 кДж/кг.

Дано: \(m_1=0.200\) кг, \(t_1=90\,°C\); \(m_2=0.050\) кг, \(t_2=10\,°C\); \(m=0.100\) кг, \(t_0=-4\,°C\); \(c=4200\) Дж/(кг · °C), \(c_m=2100\) Дж/(кг · °C), \(\lambda=330000\) Дж/кг.

Сначала вычислим энергию, необходимую для нагревания мороженого до 0 °C и его плавления:

\(Q_1=mc_m(0-t_0)=0.100\cdot2100\cdot4=840\) Дж;

\(Q_2=m\lambda=0.100\cdot330000=33000\) Дж.

После таяния получившаяся жидкость нагревается до T: \(Q_3=mcT=0.100\cdot4200T=420T\) Дж.

Тепло, отданное кофе и молоком, равно теплу, полученному мороженым:

\(m_1c(t_1-T)+m_2c(t_2-T)=Q_1+Q_2+Q_3\).

\(0.200\cdot4200(90-T)+0.050\cdot4200(10-T)=840+33000+420T\).

\(96600-1050T=33840+420T\), поэтому \(T=\frac{62760}{1470}\approx42.7\,°C\). Положительная итоговая температура согласуется с тем, что мороженое полностью растаяло.

Ответ: примерно 42,7 °C.