3) (№17 ОГЭ,1 балл) Найти острый угол параллелограмма ABCD, если биссектриса угла А образует со стороной ВС угол равный 12°. Ответ дайте в градусах.

Решение:

Пусть биссектриса угла А пересекает сторону ВС в точке Е. В параллелограмме ABCD, AB || DC и AD || BC. Также, биссектриса угла А делит угол А пополам.

По условию, \( \angle BAE = \angle DAE \).

Так как AD || BC, то \( \angle DAE = \angle AEB \) как накрест лежащие углы.

Следовательно, \( \angle BAE = \angle AEB \). Это означает, что треугольник ABE — равнобедренный с основанием BE. Следовательно, AB = BE.

По условию, биссектриса угла А образует со стороной ВС угол равный 12°. Рассмотрим два случая:

Случай 1: Биссектриса угла А пересекает продолжение стороны ВС.

Случай 2: Биссектриса угла А пересекает сторону ВС.

Предположим, что биссектриса угла А пересекает сторону BC в точке E. Тогда \( \angle BAE = \angle DAE \). Так как AD || BC, то \( \angle DAE = \angle AEB \) (накрест лежащие). Следовательно, \( \angle BAE = \angle AEB \). Треугольник ABE — равнобедренный, AB = BE.

По условию, биссектриса угла А образует со стороной ВС угол равный 12°. Это может означать \( \angle BAE = 12° \) или \( \angle AEB = 12° \).

Если \( \angle BAE = 12° \), то \( \angle AEB = 12° \) (накрест лежащие). Тогда \( \angle ABE = 180° - (12° + 12°) = 156° \). Это угол параллелограмма, что противоречит условию, так как углы параллелограмма должны быть острыми или тупыми.

Если \( \angle AEB = 12° \), то \( \angle BAE = 12° \). Тогда \( \angle ABE = 180° - (12° + 12°) = 156° \). Это также невозможно.

Рассмотрим другое условие: биссектриса угла А образует со стороной ВС угол равный 12°. Это означает, что один из углов, образованных биссектрисой и стороной ВС, равен 12°.

Пусть биссектриса AK пересекает ВС в точке K. Тогда \( \angle DAK = \angle KAB \). Так как AD || BC, то \( \angle DAK = \angle AKB \) (накрест лежащие). Значит, \( \angle KAB = \angle AKB \). Треугольник ABK — равнобедренный, AB = BK.

По условию, биссектриса угла А образует со стороной ВС угол 12°. Это может быть \( \angle AKB = 12° \) или \( \angle ABK = 12° \).

Если \( \angle ABK = 12° \), то \( \angle ABC = 12° \). Тогда \( \angle BAD = 180° - 12° = 168° \). Это тупой угол, значит, острый угол параллелограмма равен 12°.

Если \( \angle AKB = 12° \), то \( \angle KAB = 12° \). Тогда \( \angle BAC = 12° \). Так как \( \angle DAK = \angle KAB \), то \( \angle DAK = 12° \). \( \angle BAD = \angle DAK + \angle KAB = 12° + 12° = 24° \). Так как \( \angle BAD \) — острый угол, то \( \angle ABC = 180° - 24° = 156° \).

Рассмотрим рисунок. Биссектриса угла А делит его на два равных угла. Пусть \( \angle BAD = \alpha \). Тогда \( \angle BAE = \angle DAE = \frac{\alpha}{2} \). Так как AD || BC, то \( \angle DAE = \angle AEB = \frac{\alpha}{2} \) (накрест лежащие). Следовательно, \( \angle BAE = \angle AEB = \frac{\alpha}{2} \), и треугольник ABE равнобедренный, AB = BE.

Угол, который биссектриса угла А образует со стороной ВС, равен 12°. Этот угол — \( \angle AEB \) или \( \angle BAE \).

Если \( \angle BAE = 12° \), то \( \frac{\alpha}{2} = 12° \), значит \( \alpha = 24° \). Этот угол острый, что соответствует условию.

Если \( \angle AEB = 12° \), то \( \frac{\alpha}{2} = 12° \), значит \( \alpha = 24° \). Этот угол острый.

Если угол, который биссектриса угла А образует со стороной ВС, равен 12°, это означает, что \( \angle AEB = 12° \) или \( \angle BAE = 12° \).

Из условия \( \angle BAE = \angle DAE \) и \( \angle DAE = \angle AEB \) (как накрест лежащие при AD||BC). Следовательно, \( \angle BAE = \angle AEB \).

Если \( \angle BAE = 12° \), то \( \angle AEB = 12° \). Тогда \( \angle BAD = 2 \times \angle BAE = 2 \times 12° = 24° \). Этот угол острый.

Если \( \angle AEB = 12° \), то \( \angle BAE = 12° \). Тогда \( \angle BAD = 2 \times \angle BAE = 2 \times 12° = 24° \). Этот угол острый.

Рассмотрим другой вариант, где биссектриса угла A является внешним углом, который образует с продолжением стороны BC угол 12°.

Пусть биссектриса угла А пересекает сторону ВС в точке К. \( \angle BAK = \angle DAK \). \( \angle DAK = \angle AKB \) (накрест лежащие). Значит, \( \angle BAK = \angle AKB \). Треугольник ABK равнобедренный, AB = BK.

Если угол, который биссектриса угла А образует со стороной ВС, равен 12°, это означает \( \angle AKB = 12° \) или \( \angle ABK = 12° \).

Если \( \angle ABK = 12° \), то \( \angle ABC = 12° \). Тогда \( \angle BAD = 180° - 12° = 168° \). Этот угол тупой. Значит, острый угол параллелограмма равен 12°.

Если \( \angle AKB = 12° \), то \( \angle BAK = 12° \). Тогда \( \angle BAD = 2 \times \angle BAK = 2 \times 12° = 24° \). Этот угол острый.

Угол параллелограмма, который образует биссектриса угла А со стороной ВС, равен 12°. Это угол \( \angle AEB \).

Поскольку AD || BC, \( \angle DAE = \angle AEB = 12° \) (накрест лежащие). Поскольку AK — биссектриса \( \angle BAD \), то \( \angle BAK = \angle DAK \). Следовательно, \( \angle BAK = 12° \). Тогда \( \angle BAD = \angle BAK + \angle DAK = 12° + 12° = 24° \). Так как \( \angle BAD \) — острый угол параллелограмма, он равен 24°.

Ответ: 24°.