3. (2 балла) Найдите значение \( \cos a \), если известно, что \( \sin a = \frac{1}{2} \) и \( 0 < a < \frac{\pi}{2} \).

Решение:

Воспользуемся основным тригонометрическим тождеством: \( \sin^2 a + \cos^2 a = 1 \).

1. Подставим известное значение \( \sin a \):\( \left(\frac{1}{2}\right)^2 + \cos^2 a = 1 \)
2. \( \frac{1}{4} + \cos^2 a = 1 \)
3. Выразим \( \cos^2 a \):\( \cos^2 a = 1 - \frac{1}{4} \) \( \cos^2 a = \frac{3}{4} \)
4. Извлечём квадратный корень: \( \cos a = \pm \sqrt{\frac{3}{4}} = \pm \frac{\sqrt{3}}{2} \)
5. По условию \( 0 < a < \frac{\pi}{2} \), это означает, что угол \( a \) находится в первой четверти. В первой четверти косинус положителен.
6. Следовательно, \( \cos a = \frac{\sqrt{3}}{2} \).

Ответ: \( \frac{\sqrt{3}}{2} \).