3. \(2\log_5^2 x+5\log_5 x+2\ge0\)

Область определения: \(x>0\). Обозначим \(t=\log_5 x\). Тогда получаем квадратное неравенство:

\(2t^2+5t+2\ge0\).

Корни квадратного трёхчлена: \(t_1=-2\), \(t_2=-\frac12\). Поскольку коэффициент при \(t^2\) положительный, неравенство выполняется при \(t\le-2\) или \(t\ge-\frac12\).

Основание логарифма больше 1, поэтому \(\log_5 x\le-2\) даёт \(x\le\frac1{25}\), а \(\log_5 x\ge-\frac12\) даёт \(x\ge\frac1{\sqrt5}\). Оба промежутка удовлетворяют условию \(x>0\).

Ответ: \(x\in(0;\frac1{25}]\cup[\frac1{\sqrt5};+\infty)\).