4. \(3\log_4^2 x-7\log_4 x+2<0\)

Область определения: \(x>0\). Обозначим \(t=\log_4 x\). Получаем неравенство \(3t^2-7t+2<0\).

Корни трёхчлена: \(t=\frac13\) и \(t=2\). Поскольку коэффициент при \(t^2\) положительный, неравенство выполняется между корнями: \(\frac13

Основание логарифма больше 1, поэтому \(\frac13<\log_4 x<2\) равносильно \(4^{1/3}

Ответ: \(x\in(\sqrt[3]{4};16)\).