3) 2tg(2π – x) + ctg (π/2 + x) = 1

Решение:

Уравнение: \( 2\operatorname{tg}(2\pi - x) + \operatorname{ctg}(\frac{\pi}{2} + x) = 1 \)

1. Воспользуемся формулами приведения:
• \( \operatorname{tg}(2\pi - x) = -\operatorname{tg}(x) \)
• \( \operatorname{ctg}(\frac{\pi}{2} + x) = -\operatorname{tg}(x) \)
2. Подставим в уравнение: \( 2(-\operatorname{tg}(x)) + (-\operatorname{tg}(x)) = 1 \).
3. Упростим: \( -2\operatorname{tg}(x) - \operatorname{tg}(x) = 1 \) → \( -3\operatorname{tg}(x) = 1 \).
4. Найдем \( \operatorname{tg}(x) \): \( \operatorname{tg}(x) = -\frac{1}{3} \).
5. Общее решение уравнения \( \operatorname{tg}(x) = a \) имеет вид \( x = \operatorname{arctg}(a) + \pi n \), где \( n \in \mathbb{Z} \).
6. Таким образом, \( x = \operatorname{arctg}(-\frac{1}{3}) + \pi n \), где \( n \in \mathbb{Z} \).

Ответ: \( x = \operatorname{arctg}(-\frac{1}{3}) + \pi n \), где \( n \in \mathbb{Z} \).