3.38. На берегу реки находятся деревни \(A\) и \(B\) (\(A\) — ниже по течению). Утром из \(A\) в \(B\) отправилась лодка 1 и одновременно из \(B\) в \(A\) — лодка 2. Лодки встретились посередине отрезка \(AB\) и продолжили движение. Вечером одновременно лодки поплыли назад и встретились, когда лодка 2 проплыла третью часть пути до \(B\). Вычислите скорость лодки 2, если скорость лодки 1 в стоячей воде \(v_1=20\) км/ч. Моторы лодок и в первом, и во втором случаях работают одинаково.

Пусть расстояние между деревнями равно \(D\), скорость течения — \(c\), а скорость лодки 2 в стоячей воде — \(v_2\). Скорость лодки 1 в стоячей воде \(v_1=20\) км/ч.

Утром лодка 1 идёт против течения со скоростью \(v_1-c\), а лодка 2 — по течению со скоростью \(v_2+c\). Поскольку они встречаются посередине, за одинаковое время проходят равные расстояния, следовательно, \(v_1-c=v_2+c\), то есть \(v_1-v_2=2c\).

После утренней встречи лодки продолжают движение. Вечером они разворачиваются одновременно: лодка 1 плывёт из \(B\) к \(A\), а лодка 2 — из \(A\) к \(B\). К моменту вечерней встречи лодка 2 прошла \(D/3\), поэтому лодка 1 прошла оставшееся расстояние \(2D/3\). Вечером скорость лодки 1 по течению равна \(v_1+c\), а лодки 2 против течения — \(v_2-c\). За одинаковое время их расстояния относятся как скорости:

\(\frac{v_1+c}{v_2-c}=\frac{2D/3}{D/3}=2\).

Значит, \(v_1+c=2(v_2-c)\). Подставляем \(c=(v_1-v_2)/2\):

\(v_1+(v_1-v_2)/2=2(v_2-(v_1-v_2)/2)\).

После упрощения: \(3v_1-v_2=6v_2-2v_1\), откуда \(v_2=5v_1/7=100/7\) км/ч.

Ответ: скорость лодки 2 в стоячей воде равна \(100/7\) км/ч, или примерно 14,3 км/ч.