3) $4\sin^2 x+13\sin x\cdot\cos x+3\cos^2 x=0$, $x\in\left[-\frac{3\pi}{2},2\pi\right]$

Question

Вопрос: $Фото задания: 3) $4\sin^2 x+13\sin x\cdot\cos x+3\cos^2 x=0$, $x\in\left[-\frac{3\pi}{2},2\pi\right]$$ Фото задания

3) $4\sin^2 x+13\sin x\cdot\cos x+3\cos^2 x=0$, $x\in\left[-\frac{3\pi}{2},2\pi\right]$

Accepted Answer

Если $\cos x=0$, левая часть равна $4$, поэтому такие значения не подходят. Делим уравнение на $\cos^2 x$ и вводим $t=\tan x$:

$4t^2+13t+3=0$, то есть $(4t+1)(t+3)=0$. Следовательно, $\tan x=-\frac14$ или $\tan x=-3$.

Обозначим $a=\arctan\frac14$, $b=\arctan 3$. С учётом заданного промежутка решения первой серии: $-a,\ \pi-a,\ 2\pi-a$. Второй серии: $-b,\ \pi-b,\ 2\pi-b$, а также $-\pi-b$, которое равно $-\frac{3\pi}{2}+\arctan\frac13$ и лежит в промежутке.

Ответ: $x\in\left\{-\arctan\frac14,\ \pi-\arctan\frac14,\ 2\pi-\arctan\frac14,\ -\arctan 3,\ \pi-\arctan 3,\ 2\pi-\arctan 3,\ -\pi-\arctan 3\right\}$.

3) \(4\sin^2 x+13\sin x\cdot\cos x+3\cos^2 x=0\), \(x\in\left[-\frac{3\pi}{2},2\pi\right]\)

Ответ: