3.52 Найти сумму целых значений а, при которых дробь \(\frac{3a + 5}{2a + 1}\) является целым числом.

Решение:

Чтобы дробь \(\frac{3a + 5}{2a + 1}\) была целым числом, числитель \(3a + 5\) должен делиться на знаменатель \(2a + 1\). Умножим числитель и знаменатель на 2, чтобы получить одинаковые коэффициенты при \(a\).

\(\frac{2(3a + 5)}{2(2a + 1)} = \frac{6a + 10}{2(2a + 1)}\)

Теперь преобразуем числитель, чтобы выделить множитель \(2a + 1\):

\(\frac{6a + 10}{2a + 1} = \frac{3(2a + 1) + 10 - 3}{2a + 1} = \frac{3(2a + 1) + 7}{2a + 1} = 3 + \frac{7}{2a + 1}\)

Для того чтобы \(3 + \frac{7}{2a + 1}\) было целым числом, \(2a + 1\) должен быть делителем числа 7. Делители числа 7: \(1, -1, 7, -7\).

Рассмотрим случаи:

• \(2a + 1 = 1 \rightarrow 2a = 0 \rightarrow a = 0\). Значение дроби: \(3 + \frac{7}{1} = 10\) (целое).
• \(2a + 1 = -1 \rightarrow 2a = -2 \rightarrow a = -1\). Значение дроби: \(3 + \frac{7}{-1} = 3 - 7 = -4\) (целое).
• \(2a + 1 = 7 \rightarrow 2a = 6 \rightarrow a = 3\). Значение дроби: \(3 + \frac{7}{7} = 3 + 1 = 4\) (целое).
• \(2a + 1 = -7 \rightarrow 2a = -8 \rightarrow a = -4\). Значение дроби: \(3 + \frac{7}{-7} = 3 - 1 = 2\) (целое).

Целые значения \(a\): 0, -1, 3, -4.

Сумма этих значений: \(0 + (-1) + 3 + (-4) = -1 + 3 - 4 = 2 - 4 = -2\).

Ответ: -2