3.55 Найдите сумму всех натуральных чисел вида 56х3у, кратных 36.

Решение:

Число вида 56х3у кратно 36, если оно кратно 4 и 9 (так как 36 = 4 * 9 и НОД(4, 9) = 1).

Признак делимости на 4: число, образованное двумя последними цифрами, должно делиться на 4. В нашем случае это число 3у. Наибольшее число, кратное 4 и заканчивающееся на 3, это 32, но здесь последняя цифра 'у'. Значит, число 3у должно делиться на 4. Возможные значения 'у' (цифры от 0 до 9): 0, 4, 8.

Признак делимости на 9: сумма всех цифр числа должна делиться на 9. Сумма цифр числа 56х3у равна \(5 + 6 + x + 3 + y = 14 + x + y\).

Рассмотрим возможные значения 'у':

1. Если y = 0: Сумма цифр \(14 + x + 0 = 14 + x\). Чтобы \(14 + x\) делилось на 9, \(x\) может быть 4 (так как \(14 + 4 = 18\)). Получаем число 56430.
2. Если y = 4: Сумма цифр \(14 + x + 4 = 18 + x\). Чтобы \(18 + x\) делилось на 9, \(x\) может быть 0 или 9. Получаем числа 56034 и 56934.
3. Если y = 8: Сумма цифр \(14 + x + 8 = 22 + x\). Чтобы \(22 + x\) делилось на 9, \(x\) может быть 5 (так как \(22 + 5 = 27\)). Получаем число 56538.

Все полученные числа (56430, 56034, 56934, 56538) заканчиваются на 0, 4, 8, что обеспечивает их делимость на 4.

Найденные числа: 56430, 56034, 56934, 56538.

Сумма этих чисел: \(56430 + 56034 + 56934 + 56538\).

\(56430 + 56034 = 112464\)

\(56934 + 56538 = 113472\)

\(112464 + 113472 = 225936\)

Ответ: 225936