3.54 Сумма всех целых значений n, при которых дробь $\frac{3n + 8}{n + 2}$ является целым числом, равна...

Question

$Фото задания: 3.54 Сумма всех целых значений n, при которых дробь $\frac{3n + 8}{n + 2}$ является целым числом, равна...$ Фото задания

Accepted Answer

Для того чтобы дробь $\frac{3n + 8}{n + 2}$ была целым числом, числитель $3n + 8$ должен делиться на знаменатель $n + 2$. Преобразуем числитель:

$\frac{3n + 8}{n + 2} = \frac{3(n + 2) - 6 + 8}{n + 2} = \frac{3(n + 2) + 2}{n + 2} = 3 + \frac{2}{n + 2}$

Для того чтобы $3 + \frac{2}{n + 2}$ было целым числом, $n + 2$ должен быть делителем числа 2. Делители числа 2: $1, -1, 2, -2$.

Рассмотрим случаи:

$n + 2 = 1 \rightarrow n = -1$. Значение дроби: $3 + \frac{2}{1} = 5$ (целое).
$n + 2 = -1 \rightarrow n = -3$. Значение дроби: $3 + \frac{2}{-1} = 3 - 2 = 1$ (целое).
$n + 2 = 2 \rightarrow n = 0$. Значение дроби: $3 + \frac{2}{2} = 3 + 1 = 4$ (целое).
$n + 2 = -2 \rightarrow n = -4$. Значение дроби: $3 + \frac{2}{-2} = 3 - 1 = 2$ (целое).

Целые значения $n$: -1, -3, 0, -4.

Сумма этих значений: $-1 + (-3) + 0 + (-4) = -1 - 3 - 4 = -8$.

Ответ: -8

3.54 Сумма всех целых значений n, при которых дробь \(\frac{3n + 8}{n + 2}\) является целым числом, равна...