3.57 Найдите целые числа х и у такие, что $2x^2 + 2xy + y^2 = 5$. В ответ запишите количество пар (х; у).

Question

3.57 Найдите целые числа х и у такие, что $2x^2 + 2xy + y^2 = 5$. В ответ запишите количество пар (х; у).

$Фото задания: 3.57 Найдите целые числа х и у такие, что $2x^2 + 2xy + y^2 = 5$. В ответ запишите количество пар (х; у).$ Фото задания

Accepted Answer

Решение:

Данное уравнение можно представить как сумму двух квадратов:

$x^2 + (x^2 + 2xy + y^2) = 5$

$x^2 + (x + y)^2 = 5$

Так как $x$ и $y$ - целые числа, то $x^2$ и $(x + y)^2$ также являются квадратами целых чисел. Нам нужно найти пары квадратов целых чисел, сумма которых равна 5.

Возможные пары квадратов:

0 и 5 (5 не является квадратом целого числа).
1 и 4.
4 и 1.

Рассмотрим эти случаи:

Случай 1: $x^2 = 1$ и $(x + y)^2 = 4$

Из $x^2 = 1$ следует, что $x = 1$ или $x = -1$.
Из $(x + y)^2 = 4$ следует, что $x + y = 2$ или $x + y = -2$.

Если x = 1:

$1 + y = 2 \rightarrow y = 1$. Пара (1; 1).
$1 + y = -2 \rightarrow y = -3$. Пара (1; -3).

Если x = -1:

$-1 + y = 2 \rightarrow y = 3$. Пара (-1; 3).
$-1 + y = -2 \rightarrow y = -1$. Пара (-1; -1).

Случай 2: $x^2 = 4$ и $(x + y)^2 = 1$

Из $x^2 = 4$ следует, что $x = 2$ или $x = -2$.
Из $(x + y)^2 = 1$ следует, что $x + y = 1$ или $x + y = -1$.

Если x = 2:

$2 + y = 1 \rightarrow y = -1$. Пара (2; -1).
$2 + y = -1 \rightarrow y = -3$. Пара (2; -3).

Если x = -2:

$-2 + y = 1 \rightarrow y = 3$. Пара (-2; 3).
$-2 + y = -1 \rightarrow y = 1$. Пара (-2; 1).

Найдены 8 пар целых чисел (x; y): (1; 1), (1; -3), (-1; 3), (-1; -1), (2; -1), (2; -3), (-2; 3), (-2; 1).

Ответ: 8

3.57 Найдите целые числа х и у такие, что \(2x^2 + 2xy + y^2 = 5\). В ответ запишите количество пар (х; у).

Ответ:

Решение: