3.54. Дан равносторонний треугольник со стороной \(a\). Найдите отрезок, соединяющий вершину треугольника с точкой, делящей противоположную сторону в отношении 2 : 1.

Пусть в равностороннем треугольнике \(ABC\) точка \(D\) делит сторону \(BC\) так, что \(BD:DC=2:1\). Тогда \(BD=\frac{2a}{3}\), \(DC=\frac{a}{3}\), а \(AB=AC=BC=a\).

По теореме Стюарта для cevian \(AD\): \(AB^2\cdot DC+AC^2\cdot BD=BC\bigl(AD^2+BD\cdot DC\bigr)\).

Подставим длины: \(a^2\cdot\frac{a}{3}+a^2\cdot\frac{2a}{3}=a\left(AD^2+\frac{2a^2}{9}\right)\).

Отсюда \(a^3=aAD^2+\frac{2a^3}{9}\), поэтому \(AD^2=\frac{7a^2}{9}\) и \(AD=\frac{a\sqrt7}{3}\).

Если отношение отсчитывать от другого конца стороны, длина отрезка не изменится: два возможных положения точки симметричны.

Ответ: \(\frac{a\sqrt7}{3}\).