3.56. Сторона треугольника равна \(2\sqrt7\), а две другие стороны образуют угол в 30° и относятся как 1 : \(2\sqrt3\). Найдите эти стороны.

Пусть стороны, образующие угол \(30^\circ\), равны \(x\) и \(2\sqrt3x\). Противолежащая этому углу сторона равна \(2\sqrt7\).

По теореме косинусов: \((2\sqrt7)^2=x^2+(2\sqrt3x)^2-2\cdot x\cdot2\sqrt3x\cdot\cos30^\circ\).

Подставим \(\cos30^\circ=\frac{\sqrt3}{2}\): \(28=x^2+12x^2-6x^2=7x^2\). Значит, \(x^2=4\), а поскольку длина положительна, \(x=2\).

Вторая сторона равна \(2\sqrt3\cdot2=4\sqrt3\).

Ответ: 2 и \(4\sqrt3\).