3.55. Одна из сторон треугольника вдвое больше другой, а угол между этими сторонами равен 60°. Докажите, что треугольник прямоугольный.

Обозначим меньшую из двух сторон через \(x\), тогда другая равна \(2x\). Угол между ними равен \(60^\circ\). Пусть третья сторона равна \(c\).

По теореме косинусов: \(c^2=x^2+(2x)^2-2\cdot x\cdot2x\cdot\cos60^\circ\).

Так как \(\cos60^\circ=\frac12\), получаем \(c^2=x^2+4x^2-2x^2=3x^2\).

Следовательно, \((2x)^2=x^2+c^2\). По обратной теореме Пифагора треугольник прямоугольный; его гипотенуза — сторона \(2x\).

Что и требовалось доказать.