3.65. Докажите теорему Фалеса: если на одной из двух прямых отложить последовательно несколько равных отрезков и через их концы провести параллельные прямые, пересекающие вторую прямую, то они отсекают на второй прямой равные отрезки.

Пусть на первой прямой отмечены точки A₁, A₂, … так, что A₁A₂ = A₂A₃ = …, а параллельные прямые через эти точки пересекают вторую прямую в точках B₁, B₂, ….

1. Если исходные прямые параллельны, то четырёхугольники AᵢAᵢ₊₁Bᵢ₊₁Bᵢ — параллелограммы: их противоположные стороны лежат на параллельных прямых. Поэтому BᵢBᵢ₊₁ = AᵢAᵢ₊₁. Все отрезки BᵢBᵢ₊₁ равны.
2. Если исходные прямые пересекаются в точке O, то треугольники OAᵢBᵢ подобны: стороны OAᵢ лежат на одной прямой, стороны OBᵢ — на другой, а отрезки AᵢBᵢ параллельны. Поэтому для всех i отношение OBᵢ/OAᵢ имеет одно и то же значение k.
3. Из подобия следует, что соответствующие отрезки на второй прямой в k раз больше соответствующих отрезков на первой: BᵢBᵢ₊₁ = k · AᵢAᵢ₊₁. Поскольку все AᵢAᵢ₊₁ равны, равны и все BᵢBᵢ₊₁.

Теорема доказана.