3.68. Докажите, что трапеция равнобедренная, если: а) углы при основании равны; б) диагонали равны.

Пусть ABCD — трапеция с основаниями AD и BC.

а) Углы при основании равны. Пусть ∠A = ∠D. Опустим из B и C перпендикуляры BE и CF на прямую AD. Так как BC ∥ AD, BE = CF. Прямоугольные треугольники ABE и DCF имеют равные катеты BE и CF и равные острые углы ∠A и ∠D, поэтому они равны. Следовательно, AB = CD. Значит, боковые стороны трапеции равны и трапеция равнобедренная.

б) Диагонали равны. Обозначим через h расстояние между основаниями, а через x и y горизонтальные координаты точек B и C, если принять A = (0, 0), D = (d, 0), B = (x, h), C = (y, h), где d > 0 и y > x. Из AC = BD получаем (y − 0)² + h² = (d − x)² + h², то есть y² = (d − x)². Ветвь y = −(d − x) невозможна, поскольку дала бы y − x = −d, тогда как y − x > 0 и d > 0. Значит, y = d − x. Тогда AB² = x² + h², а CD² = (d − y)² + h² = x² + h². Следовательно, AB = CD, поэтому трапеция равнобедренная.