3.67. Докажите, что в равнобедренной трапеции: а) углы при каждом основании равны; б) диагонали равны.

Пусть ABCD — равнобедренная трапеция, AD ∥ BC, AB = CD.

а) Углы при основаниях равны. Опустим из B и C перпендикуляры BE и CF на AD. Расстояние между параллельными прямыми AD и BC постоянно, поэтому BE = CF. Прямоугольные треугольники ABE и DCF равны по катету и острому углу (или по гипотенузе и катету, поскольку AB = CD и BE = CF). Следовательно, ∠A = ∠D. Так как внутренние односторонние углы при каждой боковой стороне дополняют друг друга до 180°, из ∠A = ∠D следует ∠B = ∠C.

б) Диагонали равны. Рассмотрим треугольники ABD и DCA. У них AB = CD по условию, AD — общая сторона, а ∠BAD = ∠CDA по пункту а). Значит, треугольники равны по двум сторонам и углу между ними. Поэтому соответствующие диагонали равны: BD = AC.