3 а) Постройте график функции \( y = x^2 - 4 \). б) Укажите промежутки, на которых функция принимает положительные значения; отрицательные значения.

Решение:

а) Построение графика:

График функции \( y = x^2 - 4 \) — это парабола, ветви которой направлены вверх. Вершина параболы находится в точке \( (0; -4) \). Для построения найдём точки пересечения с осью \( x \) (при \( y=0 \)):

\( x^2 - 4 = 0 \) \( \Rightarrow x^2 = 4 \) \( \Rightarrow x = \\pm 2 \).

Точки пересечения с осью \( x \): \( (-2; 0) \) и \( (2; 0) \).

Точка пересечения с осью \( y \): \( (0; -4) \).

б) Промежутки значений функции:

Функция принимает положительные значения, когда \( y > 0 \), то есть \( x^2 - 4 > 0 \) \( \Rightarrow x^2 > 4 \) \( \Rightarrow x < -2 \) или \( x > 2 \). Промежуток: \( (-\infty; -2) \cup (2; \infty) \).

Функция принимает отрицательные значения, когда \( y < 0 \), то есть \( x^2 - 4 < 0 \) \( \Rightarrow x^2 < 4 \) \( \Rightarrow -2 < x < 2 \). Промежуток: \( (-2; 2) \).

Ответ: а) график — парабола с вершиной в (0; -4), пересекающая ось x в точках (-2; 0) и (2; 0). б) Положительные значения: \( (-\infty; -2) \cup (2; \infty) \); отрицательные значения: \( (-2; 2) \).