3. ABCD — параллелограмм. M — середина CD. Точка N лежит на стороне AD и AN:ND = 1:2. b = BC, a = BA. Выразить через a и b векторы CN, MN.

В параллелограмме \(\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{BC}=\vec b\), а \(\overrightarrow{AB}=-\vec a\), поскольку \(\vec a=\overrightarrow{BA}\).

Из отношения \(AN:ND=1:2\) следует \(\overrightarrow{AN}=\frac13\overrightarrow{AD}=\frac13\vec b\).

Для первого вектора: \(\overrightarrow{CN}=\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{AN}\). При этом \(\overrightarrow{CA}=\overrightarrow{BA}-\overrightarrow{BC}=\vec a-\vec b\). Поэтому \(\overrightarrow{CN}=\vec a-\frac23\vec b\).

Так как M — середина CD, \(\overrightarrow{DM}=\frac12\overrightarrow{DC}=-\frac12\vec a\). Тогда \(\overrightarrow{AM}=\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{DM}=\vec b-\frac12\vec a\), и \(\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{AN}=-\overrightarrow{AM}+\overrightarrow{AN}=\frac12\vec a-\frac23\vec b\).

Ответ: \(\overrightarrow{CN}=\vec a-\frac23\vec b\); \(\overrightarrow{MN}=\frac12\vec a-\frac23\vec b\).