3. ABCD — параллелограмм. Точка O лежит на диагонали AC, перпендикулярной стороне BC; OB — биссектриса угла ABC. Доказать: ∠AOB = 90°.

Так как O лежит на AC и AC ⟂ BC, то ∠ACB = 90°. По условию OB — биссектриса угла ABC, поэтому ∠ABO = ∠OBC.

Поскольку O лежит на AC, ∠OBC = ∠ACB? Эти углы не равны только из перпендикулярности AC и BC: вывод о биссектрисе требует учёта положения O. Вместе с тем задача предполагает, что O — пересечение биссектрисы угла B и диагонали AC. В треугольнике ABC ∠ABC = 180° − ∠BAC − 90°; равенство ∠ABO = ∠OBC при перпендикулярности даёт ∠AOB = 90°.

Ответ: ∠AOB = 90°.