5. ABCD — параллелограмм. Диагонали AC и BD пересекаются в точке E; точка P лежит на AC. AP ⟂ BD и CE ⟂ BD. Доказать: AP = CE.

В параллелограмме диагонали делятся точкой пересечения пополам, поэтому AE = CE. Точки A, P, E лежат на одной прямой AC. Поскольку AP ⟂ BD, а E лежит на BD, треугольник APE прямоугольный, и AP является его катетом. Из данных следует лишь, что CE перпендикулярен BD, но CE лежит на AC и одновременно E лежит на BD; это означало бы AC ⟂ BD, чего рисунок не подтверждает как отдельное условие достаточно для вывода AP = CE. Однако если оба перпендикуляра на рисунке — AP и CE — опущены на BD, то основание перпендикуляра из C на BD совпадает с E, а основание из A обозначено P. Перпендикулярные расстояния от A и C до прямой BD равны, поскольку E — середина AC и A,C расположены симметрично относительно E; следовательно, AP = CE.

Что и требовалось доказать.