3. ABCD — прямоугольник, AO = a, BC = b. Найдите: 1) углы △COD; 2) P(AOD). O — точка пересечения диагоналей; на рисунке угол при C обозначен α.

В прямоугольнике диагонали делятся точкой пересечения пополам и равны. Поэтому OC = AO = a, а OD = AO = a. Также AD = BC = b.

1) В △COD стороны OC и OD равны, следовательно, углы при C и D равны и обозначены α. Для определения α рассмотрим прямоугольный треугольник с гипотенузой AC = 2a и катетом BC = b. Угол между диагональю и горизонтальной стороной удовлетворяет равенству sin α = b/(2a), поэтому α = arcsin(b/(2a)). Тогда ∠COD = 180° − 2α. Это определяет углы при условии, что данные соответствуют прямоугольнику (b ≤ 2a).

2) Периметр △AOD равен AO + OD + AD = a + a + b = 2a + b.

Ответ: ∠OCD = ∠CDO = arcsin(b/(2a)), ∠COD = 180° − 2 arcsin(b/(2a)); P(AOD) = 2a + b.