3. ABCD — прямоугольник, AO = a, BC = b. Найдите: 1) углы треугольника COD; 2) P(AOD).

Диагонали прямоугольника равны и делятся точкой пересечения пополам, поэтому \(OC=OD=AO=a\). Также \(AD=BC=b\), а \(CD=AB\). По теореме Пифагора для диагонали прямоугольника: \(AC=2a\), следовательно, \(CD=\sqrt{(2a)^2-b^2}=\sqrt{4a^2-b^2}\).

1) Углы треугольника COD

Треугольник COD равнобедренный, поскольку \(OC=OD\), значит, \(\angle OCD=\angle CDO\). В прямоугольном треугольнике с гипотенузой \(AC=2a\) и катетом \(CD=\sqrt{4a^2-b^2}\) угол между диагональю и стороной прямоугольника равен \(\theta=\arccos\left(\frac{\sqrt{4a^2-b^2}}{2a}\right)\). Поэтому \(\angle OCD=\angle CDO=\theta\), а \(\angle COD=180°-2\theta\).

2) Периметр треугольника AOD

Его стороны: \(AO=a\), \(OD=a\), \(AD=b\). Поэтому \(P(AOD)=2a+b\).

Ответ: \(\angle OCD=\angle CDO=\arccos\left(\frac{\sqrt{4a^2-b^2}}{2a}\right)\), \(\angle COD=180°-2\arccos\left(\frac{\sqrt{4a^2-b^2}}{2a}\right)\); \(P(AOD)=2a+b\).