3. ABCD — трапеция, AD = 30. На рисунке ∠ABD = 135°, ∠BDC = 45°, ∠BCD = 90°. Найти BC.

Поскольку BC ∥ AD, а CD ⟂ BC, получаем CD ⟂ AD. Следовательно, треугольник ACD прямоугольный.

В треугольнике BCD углы C и D равны 90° и 45°, поэтому ∠CBD = 45°. Значит, треугольник BCD — равнобедренный прямоугольный, и BC = CD.

Соседние углы трапеции при боковой стороне AB supplementary: ∠A + ∠B = 180°. Отмеченный на рисунке угол ∠ABD = 135° — угол между BA и BD; вместе с ∠CBD = 45° он образует внутренний угол трапеции B, то есть ∠ABC = 180°. Это противоречит невырожденной трапеции и схеме: по рисунку дуга 135° относится к углу ABD, а вместе с 45° даёт 180°.

Таким образом, указанные углы несовместимы с невырожденной трапецией ABCD и данными рисунка; длину BC определить нельзя. Вероятно, один из углов на изображении прочитан неверно или условие содержит опечатку.

Ответ: данные противоречивы; уточните значение отмеченного угла.