3. ABCDA₁B₁C₁D₁ — куб. Найдите угол между прямыми A₁B и DC₁. Объясните ответ. а) 45°; б) 30°; в) 60°; г) 90°.

Возьмём куб с координатами A(0; 0; 0), D(1; 0; 0), B(0; 1; 0), A₁(0; 0; 1), C₁(1; 1; 1). Направляющие векторы прямых можно записать как \(\overrightarrow{A_1B}=(0;1;-1)\) и \(\overrightarrow{DC_1}=(0;1;1)\).

Их скалярное произведение равно \(0\cdot0+1\cdot1+(-1)\cdot1=0\). Следовательно, прямые перпендикулярны.

Ответ: г) 90°.