3. Агрофирма закупает куриные яйца в двух домашних хозяйствах, 90% яиц из первого хозяйства — яйца высшей категории, а из второго хозяйства — 40% яиц высшей категории. Всего высшую категорию получает 85% яиц. Найдите вероятность того, что яйцо, купленное у этой агрофирмы, окажется из первого хозяйства.

Обозначим через \(p\) вероятность того, что яйцо куплено в первом хозяйстве. Тогда вероятность покупки во втором хозяйстве равна \(1-p\).

По формуле полной вероятности:

\(0{,}9p+0{,}4(1-p)=0{,}85\).

Решим уравнение:

\(0{,}9p+0{,}4-0{,}4p=0{,}85\);
\(0{,}5p=0{,}45\);
\(p=0{,}9\).

Проверим: доля яиц высшей категории из первого хозяйства равна \(0{,}9\cdot0{,}9=0{,}81\).

По формуле Байеса:

\(P(\text{первое хозяйство}\mid\text{высшая категория})=\dfrac{0{,}81}{0{,}85}=\dfrac{81}{85}\approx0{,}953\).

Ответ: \(\dfrac{81}{85}\approx0{,}953\).