3. ∠AOD между диагоналями прямоугольника ABCD равен 100°. Найти ∠ABD.

Пусть ∠ABD = x. В прямоугольнике диагонали равны и точкой пересечения делятся пополам, поэтому OA = OD. Треугольник AOD равнобедренный.

Так как AB ⟂ AD, то ∠ADB = 90° − x. Диагональ BD проходит через O, поэтому ∠ADO = ∠ADB = 90° − x. В равнобедренном треугольнике AOD также ∠OAD = 90° − x.

Тогда ∠AOD = 180° − 2(90° − x) = 2x. Следовательно, 100° = 2x, откуда x = 50°.

Ответ: ∠ABD = 50°.