3. АВ и АС – отрезки касательных, проведенных к окружности радиуса 5 см. Найдите длину ОА и АС, если АВ = 12 см.

Решение:

Отрезки касательных, проведенных из одной точки к окружности, равны. Следовательно, АВ = АС = 12 см.

Радиус, проведенный в точку касания, перпендикулярен касательной. Значит, треугольник АВО – прямоугольный (где О – центр окружности).

По теореме Пифагора в треугольнике АВО:

$$ OA^2 = OB^2 + AB^2 $$

OB – радиус окружности, то есть OB = 5 см.

$$ OA^2 = 5^2 + 12^2 = 25 + 144 = 169 $$

$$ OA = \sqrt{169} = 13 \text{ см} $$

Ответ: ОА = 13 см, АС = 12 см.