3. B⁻¹и проверку

Решение:

Сначала найдем обратную матрицу \( B^{-1} \).

Матрица \( B \): \( \begin{pmatrix} 1 & -5 & 3 \\ 2 & 0 & 7 \\ -1 & 4 & 1 \end{pmatrix} \)

1. Найдём определитель матрицы \( B \):

\( \det(B) = 1 \cdot \det \begin{pmatrix} 0 & 7 \\ 4 & 1 \end{pmatrix} - (-5) \cdot \det \begin{pmatrix} 2 & 7 \\ -1 & 1 \end{pmatrix} + 3 \cdot \det \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ -1 & 4 \end{pmatrix} \)

\( \det(B) = 1(0 \cdot 1 - 7 \cdot 4) + 5(2 \cdot 1 - 7 \cdot (-1)) + 3(2 \cdot 4 - 0 \cdot (-1)) \)

\( \det(B) = 1(0 - 28) + 5(2 + 7) + 3(8 - 0) \)

\( \det(B) = -28 + 5(9) + 3(8) = -28 + 45 + 24 = 41 \)

Так как \( \det(B) = 41 \neq 0 \), обратная матрица существует.

2. Найдем союзную матрицу (присоединённую матрицу), транспонировав матрицу алгебраических дополнений.

Алгебраические дополнения:

\( A_{11} = (-1)^{1+1} \det \begin{pmatrix} 0 & 7 \\ 4 & 1 \end{pmatrix} = 1(0 - 28) = -28 \)

\( A_{12} = (-1)^{1+2} \det \begin{pmatrix} 2 & 7 \\ -1 & 1 \end{pmatrix} = -1(2 - (-7)) = -1(9) = -9 \)

\( A_{13} = (-1)^{1+3} \det \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ -1 & 4 \end{pmatrix} = 1(8 - 0) = 8 \)

\( A_{21} = (-1)^{2+1} \det \begin{pmatrix} -5 & 3 \\ 4 & 1 \end{pmatrix} = -1(-5 - 12) = -1(-17) = 17 \)

\( A_{22} = (-1)^{2+2} \det \begin{pmatrix} 1 & 3 \\ -1 & 1 \end{pmatrix} = 1(1 - (-3)) = 1(4) = 4 \)

\( A_{23} = (-1)^{2+3} \det \begin{pmatrix} 1 & -5 \\ -1 & 4 \end{pmatrix} = -1(4 - 5) = -1(-1) = 1 \)

\( A_{31} = (-1)^{3+1} \det \begin{pmatrix} -5 & 3 \\ 0 & 7 \end{pmatrix} = 1(-35 - 0) = -35 \)

\( A_{32} = (-1)^{3+2} \det \begin{pmatrix} 1 & 3 \\ 2 & 7 \end{pmatrix} = -1(7 - 6) = -1(1) = -1 \)

\( A_{33} = (-1)^{3+3} \det \begin{pmatrix} 1 & -5 \\ 2 & 0 \end{pmatrix} = 1(0 - (-10)) = 1(10) = 10 \)

Матрица алгебраических дополнений:

\( adj(B) = \begin{pmatrix} -28 & -9 & 8 \\ 17 & 4 & 1 \\ -35 & -1 & 10 \end{pmatrix} \)

Транспонируем её, чтобы получить союзную матрицу:

\( B^{T} = \begin{pmatrix} -28 & 17 & -35 \\ -9 & 4 & -1 \\ 8 & 1 & 10 \end{pmatrix} \)

3. Обратная матрица \( B^{-1} \) равна \( \frac{1}{\det(B)} \) умноженное на союзную матрицу:

\( B^{-1} = \frac{1}{41} \begin{pmatrix} -28 & 17 & -35 \\ -9 & 4 & -1 \\ 8 & 1 & 10 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -28/41 & 17/41 & -35/41 \\ -9/41 & 4/41 & -1/41 \\ 8/41 & 1/41 & 10/41 \end{pmatrix} \)

4. Проверка: \( B \cdot B^{-1} = I \) (единичная матрица)

\( B \cdot B^{-1} = \begin{pmatrix} 1 & -5 & 3 \\ 2 & 0 & 7 \\ -1 & 4 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} -28/41 & 17/41 & -35/41 \\ -9/41 & 4/41 & -1/41 \\ 8/41 & 1/41 & 10/41 \end{pmatrix} \)

Элемент (1,1): \( 1 \cdot (-28/41) + (-5) \cdot (-9/41) + 3 \cdot (8/41) = (-28 + 45 + 24) / 41 = 41 / 41 = 1 \)

Элемент (1,2): \( 1 \cdot (17/41) + (-5) \cdot (4/41) + 3 \cdot (1/41) = (17 - 20 + 3) / 41 = 0 / 41 = 0 \)

Элемент (1,3): \( 1 \cdot (-35/41) + (-5) \cdot (-1/41) + 3 \cdot (10/41) = (-35 + 5 + 30) / 41 = 0 / 41 = 0 \)

Элемент (2,1): \( 2 \cdot (-28/41) + 0 \cdot (-9/41) + 7 \cdot (8/41) = (-56 + 0 + 56) / 41 = 0 / 41 = 0 \)

Элемент (2,2): \( 2 \cdot (17/41) + 0 \cdot (4/41) + 7 \cdot (1/41) = (34 + 0 + 7) / 41 = 41 / 41 = 1 \)

Элемент (2,3): \( 2 \cdot (-35/41) + 0 \cdot (-1/41) + 7 \cdot (10/41) = (-70 + 0 + 70) / 41 = 0 / 41 = 0 \)

Элемент (3,1): \( (-1) \cdot (-28/41) + 4 \cdot (-9/41) + 1 \cdot (8/41) = (28 - 36 + 8) / 41 = 0 / 41 = 0 \)

Элемент (3,2): \( (-1) \cdot (17/41) + 4 \cdot (4/41) + 1 \cdot (1/41) = (-17 + 16 + 1) / 41 = 0 / 41 = 0 \)

Элемент (3,3): \( (-1) \cdot (-35/41) + 4 \cdot (-1/41) + 1 \cdot (10/41) = (35 - 4 + 10) / 41 = 41 / 41 = 1 \)

Получили единичную матрицу \( I = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \). Значит, обратная матрица найдена верно.

Ответ: \( B^{-1} = \begin{pmatrix} -28/41 & 17/41 & -35/41 \\ -9/41 & 4/41 & -1/41 \\ 8/41 & 1/41 & 10/41 \end{pmatrix} \)