4. Определитель А (двумя способами

Решение:

Способ 1: Разложение по первой строке

Матрица \( A \): \( \begin{pmatrix} 2 & 5 & 7 \\ -3 & 1 & 0 \\ 4 & -2 & 5 \end{pmatrix} \)

Определитель \( \det(A) \) равен:

\( \det(A) = 2 \cdot \det \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ -2 & 5 \end{pmatrix} - 5 \cdot \det \begin{pmatrix} -3 & 0 \\ 4 & 5 \end{pmatrix} + 7 \cdot \det \begin{pmatrix} -3 & 1 \\ 4 & -2 \end{pmatrix} \)

\( \det(A) = 2(1 \cdot 5 - 0 \cdot (-2)) - 5((-3) \cdot 5 - 0 \cdot 4) + 7((-3) \cdot (-2) - 1 \cdot 4) \)

\( \det(A) = 2(5 - 0) - 5(-15 - 0) + 7(6 - 4) \)

\( \det(A) = 2(5) - 5(-15) + 7(2) \)

\( \det(A) = 10 + 75 + 14 = 99 \)

Способ 2: Правило Саррюса

Добавляем первые две колонки к матрице:

\( \begin{pmatrix} 2 & 5 & 7 & | & 2 & 5 \\ -3 & 1 & 0 & | & -3 & 1 \\ 4 & -2 & 5 & | & 4 & -2 \end{pmatrix} \)

Суммируем произведения элементов на главной диагонали и диагоналях, параллельных ей, и вычитаем произведения элементов на побочной диагонали и диагоналях, параллельных ей.

\( \det(A) = (2 \cdot 1 \cdot 5 + 5 \cdot 0 \cdot 4 + 7 \cdot (-3) \cdot (-2)) - (7 \cdot 1 \cdot 4 + 2 \cdot 0 \cdot (-2) + 5 \cdot (-3) \cdot 5) \)

\( \det(A) = (10 + 0 + 42) - (28 + 0 - 75) \)

\( \det(A) = 52 - (-47) \)

\( \det(A) = 52 + 47 = 99 \)

Оба способа дали одинаковый результат.

Ответ: \( \det(A) = 99 \)