3. Биссектриса угла А параллелограмма ABCD пересекает сторону BC в точке K. Найдите периметр параллелограмма, если BK=4, CK=19

1. **Свойство биссектрисы:** Так как AK биссектриса угла A, то ∠BAK = ∠DAK.

2. **Свойство параллелограмма:** В параллелограмме противоположные стороны параллельны, следовательно, BC || AD. Тогда ∠DAK = ∠BKA как накрест лежащие углы при параллельных прямых AD и BC и секущей AK.

3. **Равнобедренный треугольник ABK:** Из пунктов 1 и 2 следует, что ∠BAK = ∠BKA, значит, треугольник ABK равнобедренный, и AB = BK = 4.

4. **Сторона BC:** BC = BK + CK = 4 + 19 = 23.

5. **Свойства параллелограмма:** В параллелограмме противоположные стороны равны. Значит, AB = CD = 4 и BC = AD = 23.

6. **Периметр параллелограмма:** Периметр параллелограмма равен сумме длин всех его сторон: P = 2 * (AB + BC) = 2 * (4 + 23) = 2 * 27 = 54.

**Ответ:** Периметр параллелограмма равен 54.