4. Биссектрисы углов А и В при боковой стороне АВ трапеции ABCD пересекаются в точке F. Найдите АВ, если AF=9, BF=12.

1. **Биссектрисы:** AF и BF являются биссектрисами углов A и B соответственно, значит ∠FAB = ∠DAF и ∠ABF = ∠CBF.

2. **Углы при боковой стороне:** Сумма углов при боковой стороне трапеции равна 180°. То есть ∠DAB + ∠CBA = 180°.

3. **Сумма углов в треугольнике:** Рассмотрим треугольник AFB. Сумма его углов равна 180°, то есть ∠FAB + ∠ABF + ∠AFB = 180°.

4. **Биссектрисы и сумма углов:** Так как AF и BF - биссектрисы, то ∠FAB = 0.5 * ∠DAB и ∠ABF = 0.5 * ∠CBA. Отсюда 0.5 * ∠DAB + 0.5 * ∠CBA = 0.5 * (∠DAB + ∠CBA) = 0.5 * 180° = 90°. Значит, ∠FAB + ∠ABF = 90°.

5. **Угол AFB:** Подставив в уравнение из пункта 3, получаем: 90° + ∠AFB = 180°, откуда ∠AFB = 90°. Следовательно, треугольник AFB - прямоугольный.

6. **Теорема Пифагора:** В прямоугольном треугольнике AFB по теореме Пифагора AB² = AF² + BF². Зная, что AF = 9 и BF = 12, получаем AB² = 9² + 12² = 81 + 144 = 225.

7. **Находим AB:** AB = √225 = 15.

**Ответ:** Длина стороны AB равна 15.