№ 3. Бросают одну игральную кость. Событие А – «выпадет чётное число очков». Являются ли независимыми события А и В, если событие В состоит в том, что: а) выпадет число очков, кратное 3; б) выпадет число очков, кратное 5?

Решение:

Игральная кость имеет 6 граней с числами от 1 до 6. Общее число исходов n = 6.

Событие А – «выпадет чётное число очков». Благоприятные исходы для А: {2, 4, 6}. Число исходов m(A) = 3. Вероятность P(A) = m(A) / n = 3 / 6 = 1/2.

а) Событие В – «выпадет число очков, кратное 3».

• Благоприятные исходы для В: {3, 6}. Число исходов m(B) = 2. Вероятность P(B) = m(B) / n = 2 / 6 = 1/3.
• Событие A ∩ B – «выпадет число очков, являющееся чётным и кратным 3». Благоприятный исход: {6}. Число исходов m(A ∩ B) = 1. Вероятность P(A ∩ B) = m(A ∩ B) / n = 1 / 6.
• Проверим условие независимости: P(A ∩ B) = P(A) * P(B)?
• 1/6 = (1/2) * (1/3)
• 1/6 = 1/6.
• Равенство выполняется, значит, события А и В независимы.

б) Событие В – «выпадет число очков, кратное 5».

• Благоприятные исходы для В: {5}. Число исходов m(B) = 1. Вероятность P(B) = m(B) / n = 1 / 6.
• Событие A ∩ B – «выпадет число очков, являющееся чётным и кратным 5». Таких исходов нет. Число исходов m(A ∩ B) = 0. Вероятность P(A ∩ B) = m(A ∩ B) / n = 0 / 6 = 0.
• Проверим условие независимости: P(A ∩ B) = P(A) * P(B)?
• 0 = (1/2) * (1/6)
• 0 ≠ 1/12.
• Равенство не выполняется, значит, события А и В зависимы.

Ответ: а) независимы; б) зависимы