3. Четырёхугольник ABCD — квадрат, O — его центр. Прямая OM перпендикулярна плоскости квадрата. Докажите, что MA = MB = MC = MD, если AB = 4 см, OM = 1 см.

Поскольку \(O\) — центр квадрата со стороной 4 см, расстояние от центра до каждой вершины равно половине диагонали квадрата. Диагональ равна \(4\sqrt{2}\) см, поэтому \(OA=OB=OC=OD=2\sqrt{2}\) см.

Так как \(OM\) перпендикулярна плоскости квадрата, треугольники \(MOA\), \(MOB\), \(MOC\) и \(MOD\) прямоугольные при \(O\). Для каждого из них теорема Пифагора даёт одинаковую длину гипотенузы:

\(MA=MB=MC=MD=\sqrt{OM^2+OA^2}=\sqrt{1^2+(2\sqrt{2})^2}=\sqrt{9}=3\) см.