3. Четырёхугольник ABCD — параллелограмм. BD = x, AC = y. На рисунке AB = 8, AD = 12; внешний угол при D равен 45°. Найти x и y.

В параллелограмме внешний угол при D равен 45°, значит внутренний угол \(\angle D=180^\circ-45^\circ=135^\circ\). Противоположный угол \(\angle B=135^\circ\), а соседние углы A и C равны 45°.

Диагональ BD — сторона треугольника ABD. По теореме косинусов:

\(x^2=8^2+12^2-2\cdot8\cdot12\cos45^\circ=208-96\sqrt2\).

Следовательно, \(x=\sqrt{208-96\sqrt2}\).

Для диагонали AC рассмотрим треугольник ABC: AB = 8, BC = AD = 12, а угол B равен 135°.

\(y^2=8^2+12^2-2\cdot8\cdot12\cos135^\circ=208+96\sqrt2\).

Следовательно, \(y=\sqrt{208+96\sqrt2}\).

Ответ: \(x=\sqrt{208-96\sqrt2}\), \(y=\sqrt{208+96\sqrt2}\).