5. Четырёхугольник ABCD — параллелограмм. BD = x, AC = y. На рисунке AB = 8, ∠DAC = 20°, ∠ACD = 40°. Найти x и y.

В треугольнике ACD сумма углов даёт \(\angle ADC=180^\circ-20^\circ-40^\circ=120^\circ\). По закону синусов, учитывая AD = BC и CD = AB = 8:

\(\dfrac{AD}{\sin40^\circ}=\dfrac{8}{\sin20^\circ}\), поэтому \(AD=\dfrac{8\sin40^\circ}{\sin20^\circ}\).

Ещё раз применим закон синусов для диагонали AC:

\(y=AC=\dfrac{8\sin120^\circ}{\sin20^\circ}\).

В треугольнике ABC угол B равен 120° (он противоположен углу D параллелограмма), стороны AB = 8 и BC = AD. Поэтому по теореме косинусов:

\(x^2=8^2+AD^2-2\cdot8\cdot AD\cos120^\circ=64+AD^2+8AD\).

Подстановка даёт \(x\approx20.99\), а \(y\approx19.52\).

Ответ: \(x\approx20.99\), \(y=\dfrac{8\sin120^\circ}{\sin20^\circ}\approx19.52\).