3. Дан эллипс 9x² + 81y² = 729. Определите длины осей, координаты фокусов и эксцентриситет.

Делим уравнение на 729:

\[\frac{x^2}{81}+\frac{y^2}{9}=1.\]

Здесь a² = 81, b² = 9, поэтому a = 9 и b = 3. Большая ось направлена вдоль оси x.

Длина большой оси: 2a = 18. Длина малой оси: 2b = 6.

Для фокусов c² = a² − b² = 81 − 9 = 72, поэтому c = 6√2. Фокусы: (±6√2; 0).

Эксцентриситет: e = c/a = 6√2/9 = 2√2/3.

Ответ: длины осей — 18 и 6; фокусы — (±6√2; 0); эксцентриситет — 2√2/3.