5. Дано уравнение гиперболы 16x² − 25y² = 400. Найдите координаты её фокусов и вершин, эксцентриситет и уравнение асимптот.

Делим уравнение на 400 и приводим к каноническому виду:

\[\frac{x^2}{25}-\frac{y^2}{16}=1.\]

Отсюда a = 5, b = 4. Вершины: (±5; 0).

Для гиперболы c² = a² + b² = 25 + 16 = 41, поэтому фокусы — (±√41; 0). Эксцентриситет \(e=\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{41}}{5}\).

Уравнения асимптот: \(y=\pm\frac{b}{a}x\), то есть \(y=\pm\frac{4}{5}x\).

Ответ: фокусы (±√41; 0); вершины (±5; 0); эксцентриситет \(\frac{\sqrt{41}}{5}\); асимптоты \(y=\pm\frac{4}{5}x\).